Question

下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（）=0；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
⑤函数f（x）=的单调递增区间是（2π-，2kπ+）（k∈z）．
其中真命题为    ．

Answer

分别利用导数的运算以及导数的应用进行判断即可．
【解析】
①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①错误．
②因为h（x）=cos4x-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′（）=-1，所以②错误．
③因为g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）⋅[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=1×2×…×2012=2012!，所以③正确．
④三次函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，要使f（x）有极值点，则f′（x）=3ax2+2bx+c=0有两个不等的实根，即△=b2-3ac＞0，当a=b=c=0时，△=0，不成立，所以④错误．
⑤函数的导数为，由f′（x）＞0，得1+2cosx＞0，即，，
即函数的单调递增区间为（2π-，2kπ+）（k∈z），所以⑤正确．
故答案为：③⑤