Question

对任意的正整数n，猜测：2^n-1与（n+1）²的大小．写出你的结论．并用数学归纳法加以证明．

Answer

对n=1，2，3，4，…取值验证或借助于函数y=2x与y=x2的图象，找出最小的正整数m等于6，再按照数学归纳法的步骤进行证明．
【解析】
当n=1时2n-1＜（n+1）2
当n=2时，22-1=2＜（2+1）2
当n=3时，23-1=4＜（3+1）2
当n=4时24-1＜（4+1）2
当n=5时25-1＜（5+1）2
当n=6时  26-1＜（6+1）2
当n=7时  27-1=（7+1）2
当n=8时  28-1＞8+1）2
…
猜想当n≥8，2n-1＞（n+1）2 恒成立．
数学归纳法证明：
（1）当n=8时，28-1=128，（8+1）2=81，128＞81，2n-1＞（n+1）2 成立
（2）假设当n=k（k≥8）时不等式成立，即有2k-1＞（k+1）2
则当n=k+1时，2（k+1）-1=2k=2•2k-1＞2•（k+1）2=k2+[（k+2）2-2]＞（k+2）2  （∵k2-2＞0）
=[（k+1）+1]2，即是说 当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）可知当n≥8，时2n-1＞（n+1）2 恒成立．