Question

在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．
（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）证明AB⊥平面BEF；
（3）求二面角M-EF-B的余弦值．

Answer

（1）由题意及图形的翻折规律可知MN应是△ABF的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）根据翻折前AB⊥BE，AD⊥DF，可知翻折后AB⊥BE，AB⊥BF，结合线面垂直的判定定理得到AB⊥平面BEF；
（3）记EF的中点为G，连接MF，BG，MG，可得∠MGB是二面角M-EF-B的平面角，解△MGB，可得二面角M-EF-B的余弦值
（1）【解析】
MN∥平面AEF…（1分）
证明如下：因M、N分别为AB、CF的中点，
翻折后B、C、D重合，
∴MN是△ABF的一条中位线，…（3分）
∴MN∥AF
又∵MN⊄平面AEF，AF⊂平面AEF
∴MN∥平面AEF．…（6分）
（2）证明：∵正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，
∴翻折后AB⊥BE，AB⊥BF，
又∵BE∩BF=B，BE，BF⊂平面BEF
∴AB⊥平面BEF，…（8分）
（3）记EF的中点为G，连接MF，BG，MG
∵BE=BF，ME=MF
∴BG⊥EF且MG⊥EF，
故∠MGB是二面角M-EF-B的平面角…10分
∵AB⊥平面BEF
∴∠MBG=90°
在△BEF中，BG=，
又由MB=2，
∴MG==
∴cos∠MGB==
即二面角M-EF-B的余弦值…12分