Question

已知函数，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有（ ）个．
A．6个
B．4个
C．7个
D．8个

Answer

利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=-3，且函数的值域为R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三种
情况，研究方程跟的个数，从而得出结论．
【解析】
∵函数，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=-3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=-3或x=时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）=-3，此时方程有2个根，或f（x）=，此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）∈（-4，-3），此时方程有1个根，或f（x）∈（-3，-2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]-a=0，则：f（x）∈（0，），或f（x）∈（，+∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．