Question

过椭圆的一个焦点F引直线l：的垂线FM，垂足为M，l交椭圆于P、Q两点，若，则该椭圆的离心率为    ．

Answer

根据直线的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=．由得M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=．由线段垂直平分线定理，得|QF2|=|OF2|=c，结合椭圆的定义得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c，最后在△QF1F2中利用中线的性质，建立关于a、b、c的等式，化简整理得到离心率e的方程，解之即可得到所求离心率．
【解析】
∵直线l的斜率k=
Rt△OMF2中，tan∠MOF2==
结合|OF2|=c，可得|OM|=
∵，
∴M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=
∵MF2是OQ的垂直平分线，∴|QF2|=|OF2|=c
连结QF1，由椭圆的定义可得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c
∵OQ是△QF1F2的中线
∴4|OQ|2+|F1F2|2=2（|QF1|2+|QF2|2）
即4×+4c2=2[（2a-c）2+c2]，
化简整理得e3-3e2-2e+2=0，即（e2-4e+2）（e+1）=0
∵e+1＞0，∴e2-4e+2=0，解之得e=2
∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=2-
故答案为：2-