Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA₁∥平面BCHG．

Answer

（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；
（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．
证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四点共面；
（2）∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B1C1∥GH
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，
∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG
∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行
∴平面EFA1∥平面BCHG．