Question

已知点P_n（a_n，b_n）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=（m∈Z），问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（I）先求得P1，从而得a1，b1，根据等差数列的通项公式可求得an，由点Pn（an，bn）都在直线l：y=2x+2上可求得bn；
（Ⅱ）假设存在符合条件的k，分k为偶数，k为奇数两种情况讨论：由f（n）表达式可分别求得f（k+5），f（k），解出方程f（k+5）=2f（k）-2即可作出判断；
（Ⅲ）由Pn（n-2，2n-2），得|P1Pn|=（n-1）（n≥2），代入不等式左边并进行放缩，利用裂项相消法可化简，由化简结果可得结论；
【解析】
（I）由题意得P1（-1，0），故a1=-1，b1=0，
又{an}成等差数列，公差为1，所以an=-1+（n-1）×1=n-2，
由点Pn（an，bn）都在直线l：y=2x+2上，所以bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2；
（II）f（n）=，假设存在符合条件的k，
①若k为偶数，则k+5为奇数，有f（k+5）=k+3，f（k）=2k-2，
如果f（k+5）=2f（k）-2，则k+3=4k-6⇒k=3与k为偶数矛盾．
②若k为奇数，则k+5为偶数，有f（k+5）=2k+8，f（k）=k-2，
如果f（k+5）=2f（k）-2，则2k+8=2k-6，这样的k也不存在．
故不存在符合条件的k．
（III）∵Pn（n-2，2n-2），∴|P1Pn|=（n-1）（n≥2），
∴．