(1)要证EB1⊥平面ABE,只需证EB1垂直平面ABE内的两条相交直线即可,利用已知的三棱柱为直三棱柱,且AB⊥AC证得AB⊥EB1,然后通过解直角三角形证出EB1⊥EB,最后由线面垂直的判定得答案;
(2)通过建立空间直角坐标系求出二面角B-AE-A1的两个半平面所在平面的法向量,由法向量所成角的余弦值求得答案.
(1)证明:∵AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1
∴BB1⊥底面ABC,∴AB⊥BB1,又AB⊥BC
∴AB⊥BB1C1C,∴AB⊥EB1
又,∴EB1⊥EB
∴EB1⊥平面ABE
(2)【解析】
分别以射线BA、BC、BB1为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系B-xyz
则B(0,0,0),A(,0,0),.
由(1)知平面ABE的法向量为.
设平面AA1E的法向量为,又
由,即,令得:.
∴=.