Question

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB₁的中点．
（1）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁C；
（2）若，求二面角A-A₁D-C的大小．

Answer

（1）连接A1C与AC1交于点F，连接EF，欲证平面A1EC⊥平面AA1C1C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1EC内一直线与平面AA1C1C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA1C1C，满足定理条件；
（2）延长DA1交AB的延长线于点G，过B作BH⊥A1G于H，边CH，则A1⊥CH，根据二面角平面角的定义可知∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角，利用解直角三角形可得二面角A-A1D-C的大小．
证明：（1）取A1C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．
则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA1C1C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA1C1C，∴DE⊥面AA1C1C
而DE⊂面DA1C，所以平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（2）延长DA1交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA1B1C
过B作BH⊥A1G于H，边CH，则A1G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角．
设AA1=2h，AB=BC=h，在直角三角形A1AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB==，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB==，
∴∠CHB=60°．