Question

已知函数f（x）=x²-mlnx+（m-1）x，m∈R．
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求m的值；
（2）当m=-2时，讨论函数f（x）+x的单调性；
（3）在（2）的条件下，求证，对任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有＞-1．

Answer

（1）由x=2是函数的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出m；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），我们可以构造辅助函数g（x）=f（x）+x，判断g′（x）的符号，进而得到f（x）+x的单调区间；
（3）当 m=-2时，对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，要证明，
即证明f（x1）-f（x2）＞x1-x2，即证f（x1）+x1＜f（x2）+x2，
故我们可由（2）函数g（x）=f（x）+x的单调性，来证明结论．
【解析】
（1）∵函数 f（x）在x=2处有极值∴f′（2）=2-+m-1=0
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（2）当m=-2时，函数f（x）=x2+2lnx-3x（x＞0）．
令函数g（x）=f（x）+x，则
g′（x）=x+-2==
∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）由（2）知g（x）在（0，+∞）为增函数．
∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．
即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．
又∵x1-x2＜0，
∴（14分）