Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（0，1），过抛物线上的异于顶点的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与y轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）若直线MN与y轴的交点恰为R（0，2），求证：直线AB过定点．

Answer

（1）根据抛物线开口向上，以F（0，1）为焦点，易得抛物线的标准方程为x2=4y；
（2）设A（x1，x12），B（x2，x22），可得切线AC、BD的方程，求得C（0，-x12）且D（0，-x22），由此可得直线AD方程为y=x-x22且直线BC方程为y=x-x12，分别联解AC、BD方程和AD、BC方程，得出点M、N的纵坐标相等，故直线MN的斜率k=0为定值；
（3）由（2）得=2，解出x1x2=8．设直线AB：y=kx+m，与抛物线方程消去y得x2-4kx-4m=0，从而得到x1x2=-4m=8，解之得m=-2，所以直线AB恒过定点（0，-2）．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点在原点，焦点为F（0，1），
∴抛物线标准方程为x2=2py，且=1，可得2p=4
因此，抛物线的标准方程为x2=4y；
（2）设A（x1，x12），B（x2，x22）
可得直线AC方程为y=x1x-x12，直线BD方程为y=x2x-x22，
∴C点坐标为（0，-x12），D点坐标为（0，-x22）
因此，直线AD方程为y=x-x22，
直线BC方程为y=x-x12，
直线AC、BD方程联解，得M坐标为（，）
直线AD、BC方程联解，得N坐标为（，）
由此可得点M、N的纵坐标相等，故直线MN的斜率k=0，为定值；
（3）由（2）得=2，得x1x2=8
设直线AB：y=kx+m，由消去y得x2-4kx-4m=0
由根与系数的关系，得x1x2=-4m=8，解之得m=-2
∴直线AB恒过定点（0，-2）．