Question

已知函数f（x）=+2bx+c在R上可导．
（1）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=3a，求a的取值范围；
（2）若f（x）的极大值点在（0，1）内，极小值点在（1，2）内，求的取值范围．

Answer

（1）由f（x）在区间[-1，2]上为减函数，可转化成f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，借助二次函数的知识建立不等关系，可求出a的取值范围．
（2）对函数f（x）求导，根据函数f（x）在（0，1）内有极大值，在（1，2）内有极小值，转化为f′（x）的图象在区间（0，1）和（1，2）上与x轴各有一个交点，根据二次函数根的分布可建立关于a，b的三个不等关系，利用线性规划即可求的取值范围．
（1）∵当a≠0时，f′（x）=x2+ax+2b=x2+ax+6a，又f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f′（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，…（2分）
即x2+ax+6a≤0对x∈[-1，2]恒成立，
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0，…（4分）
即．…（6分）
（2）∵f（x）=x3+ax2+2bx+c，
∴f′（x）=x2+ax+2b，…（8分）
由题意得画出可行域：
于是即为点P（1，2）与可行域内（不包含边界）任意一点的连线的斜率．
∴kPC＜＜kPA，即＜＜1．…（13分）