Question

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）．
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

Answer

（1）由题意，得出每小时加工的G型装置和H型装置的个数，求出总的个数，即可得出写出g（x），h（x）的解析式；
（2）用作差法比较大小即可，得出分配人数x的范围与两函数值大小的关系，总加工时间以后加工完成的零件所需的时间计，由此利用分段函数写出f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）的最小值，算出最小值时的自变量即得，由于函数f（x）是一个分段函数，故要对每一段上的最值作出研究，再进行比较得到函数的最小值．
【解析】
（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216-x）人．
∴g（x）=，h（x）=，
即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）．
（2）g（x）-h（x）=-=．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
当0＜x≤86时，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f（x）=
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值．
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）==．
∴f（x）min=f（86），此时216-x=130．
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）==．
∴f（x）min=f（87），此时216-x=129．
∴f（x）min=f（86）=f（87）=．
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129．