Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer

建立空间直角坐标系，求出相关向量
（I）要证：DE∥平面ABC，只需证明向量DE与平面ABC的法向量数量积=0即可；
（II）要证：B1F⊥平面AEF，只需证明=0，=0即可；
（III）求二面角B1-AE-F的余弦值，只需求出平面B1AE的法向量为，
平面AEF的法向量为，利用数量积确定二面角的余弦值．
也可以用几何法证明：
（I）要证DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG，）；
（II）求证B1F⊥平面AEF，只需证明B1F垂直平面AEF内的两条相交直线AF、EF即可；
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，说明∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，然后求二面角B1-AE-F的余弦值．
【解析】
方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA1=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B1（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）=（-2，4，0），面ABC的法向量为=（0，0，4），
∵，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II），
=0
=0（6分）
∴，∴B1F⊥AF
∵AF∩FE=F，∴B1F⊥平面AEF（8分）

（III）平面AEF的法向量为，设平面B1AE的法向量为，
∴，即（10分）
令x=2，则Z=-2，y=1，∴
∴=
∴二面角B1-AE-F的余弦值为（12分）

方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，
则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C1C的中点，A1C1∥CP，
可证A1E=EP，（2分）
∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，（6分）
设AB=AA1=2，则
∴B1F⊥EF，∴B1F⊥平面AEF；（8分）

（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，
∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，
∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，
C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求，（10分）
在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°，∴
∴二面角B1-AE-F的余弦值为（12分）