Question

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：为定值．

Answer

（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2；
（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=-4，同理可得 y2y4=-4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．
（Ⅰ）【解析】
依题意，设直线AB的方程为x=my+2．             
将其代入y2=4x，消去x，整理得 y2-4my-8=0．
从而y1y2=-8．                                
（Ⅱ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）．
则 =×=×=． 
设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，
整理得y2-4ny-4=0．           
所以y1y3=-4．       
同理可得 y2y4=-4．          
故===． 
由（Ⅰ）得=2，为定值．