Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
（1）求椭圆方程；
（2）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求tan∠ATM．

Answer

（1）直线AB方程与椭圆方程联解，利用根的判别式算出a2+4b2-4=0．再由椭圆的离心率e=，得a=2b，代入前面的式子可得a2=2且b2=，从而得到椭圆方程；
（2）由（1）算出F1、F2的坐标，从而得到AF2的中点M（1+，0），联解AB方程与椭圆方程得T（1，）．
最后利用直线的斜率公式和两角差的正切公式，即可得到tan∠ATM的值．
【解析】
（1）过点A、B的直线方程为：，
∵直线AB与椭圆有唯一公共点，
∴将y=1-代入椭圆方程，化简得
方程（b2+）x2-a2x+a2-a2b2=0有惟一解，
∴△=a2b2（a2+4b2-4）=0（ab≠0），
故a2+4b2-4=0．
又∵椭圆的离心率e=，
∴a=2b，代入上式可得a2=2，b2=，
因此，所求的椭圆方程为；
（2）由（1）得c==，得F1（-，0），F2（-，0）
从而算出M（1+，0）
将直线AB方程与椭圆方程联解，可得T（1，）．
∴tan∠AF1T==-1，
又∵tan∠TAM=-=，tan∠TMF2=-=，
∴tan∠ATM=tan（∠TMF2-∠TAM）==-1．