Question

如图，已知圆锥的底面直径和母线长均为4，过OA上一点P作平面α，当OB∥α时平面a截圆锥所得的截口曲线为抛物线，设抛物线的焦点为F，若OP=1，则|PF|长为（ ）

A．
B．
C．1
D．2

Answer

设抛物线与圆锥底面交点为C、D，连结CD交AB于点E，连结PE，则PE∥OB且抛物线焦点F在PE上，连结BC、AC．利用平行线的性质证出△PAE是边长为3的正三角形，在底面圆Rt△ABC中利用射影定理算出CE=，然后以P为原点，PF所在直线为x轴建立直角坐标系，设出抛物线的方程并利用点C的坐标算出p=，即可得到|PF|长为．
【解析】
如图1所示
设抛物线与圆锥底面交点为C、D，连结CD交AB于点E，
连结PE，则PE∥OB且点F在PE上，连结BC、AC
∵正△OAB中，PE∥OB
∴△PAE是正三角形，边长AE=AP=4-1=3
∵AB是底面圆的直径，CE⊥AB于E
∴CE2=BE•AE=3，可得CE=

       图1                    图2
在平面α内，以P为原点，PF所在直线为x轴建立如图2所示直角坐标系
设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）
由C点坐标（3，），得（）2=2p•3，所以p=
因此，|PF|长为=，
故答案为：