Question

如图，四棱锥S-ABCD的正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，直线边长为2．
（1）求二面角C-SB-A的大小；
（2）P为棱SB上的点，当SP的长为何值时，CP⊥SA？

Answer

（1）分别以DS、DC、DA所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系，得出平面SBC的一个法向量，且平面SAB的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，算出夹角的余弦值，结合二面角C-SB-A是钝二面角，可得二面角C-SB-A大小；
（2）算出向量=（-2，2，2），设，根据CP⊥SA得=0，建立关于k的方程解出k=，从而算出，得||=，即可得到CP⊥SA时SP的长．
解（1）以D为坐标原点，分别以DS、DC、DA所在直线为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系．根据题意可得
平面SBC的一个法向量（1分）
∵平面SAB的一个法向量（2分）
∴，得（3分）
由图形观察，可得二面角C-SB-A是钝二面角，
因此二面角C-SB-A大小为（4分）
（2）由（1），可得S（2，0，0），
B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2）
设（5分）
∴=8k-4（6分）
∵CP⊥SA，∴=0，可得（7分）
因此，，得||=，
即当SP的长为时，CP⊥SA．（8分）