Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．

Answer

（1）设过抛物线的焦点F且与该抛物线相交的直线方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，求x1+x2，再根据抛物线中，焦点弦公式，求出k值，则抛物线方程可求．
（2）利用导数求出过点A的抛物线的切线斜率，设出切线方程，根据切线与直线x=-1交于点E，求出E点坐标，
计算的值，若为0，则问题得证．
【解析】
设A（x1，y1）B（x2，y2），
（1）若l⊥x轴，则|AB|=4不适合
故设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k2x2-2（k2+2）x+k2
△=16k2+16＞0∴x1+x2=．                   
由|AB|=x1+x2+2=+2=10，得k2=
直线l的方程为y=±
（2）当y＞0时•切线的方程：y-y1=得
E（-1，），=（2，），=（ x1-1，y1）  
 =2（x1-1）+（）y1=2（x1-1）+2（1+x1）-4x1=0
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．