Question

f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0且的解集为（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer

构造函数 h（x）=，由已知可得 x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数h（x）在（-∞，0）单调递减，又由已知可得函数 h（x）为奇函数，故可得 h（0）=g（-2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，可求得答案．
【解析】
∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数
∴f（-x）=-f（x）   g（-x）=g（x）
∵当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0
当x＜0时，，
令h（x）=，则h（x）在（-∞，0）上单调递减
∵h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x）
∴h（x）为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，且h（0）=0
∵f（-2）=-f（2）=0，∴h（-2）=-h（2）=0
h（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，+∞）
故选A．