Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别为等差和等比数列，且a₁=1，d＞0，a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（1）由已知可得，a2，a5，a14成等比数列，结合等比数列的性质及等差数列的通项公式可求公差d，进而可求
an，然后结合已知可求等比数列的公比，代入可求
（2）设cn=an•bn=（2n-1）•3n-1，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和
【解析】
（1）∵a2=b2，a5=b3，a14=b4，b2，b3，b4成等比数列
∴a2，a5，a14成等比数列
∵a1=1
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）2
∵d＞0
解可得d=2
∴an=1+2（n-1）=2n-1
∵a2=b2=3，a5=b3=9
∴q=3，=3•3n-2=3n-1
（2）设cn=an•bn=（2n-1）•3n-1
∴sn=1•3+3•3+5•32+…+（2n-1）•3n-1
3sn=1•3+3•32+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n
两式相减可得，-2sn=1+2（3+32+…+3n-1-（2n-1）•3n
=
=3n-2-（2n-1）•3n
∴