Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角．

Answer

解法一：
（Ⅰ） 证明线面平行，即证AC1平行于面EB1C中的一条直线，即可；
（Ⅱ）设AC1与ED1交于点G，连DE，根据AC1∥面EB1C，可得G与C1到平面EB1C的距离相等，设为h，求出EG及h，即可求得ED1与面EB1C所成角；
解法二：
作DH⊥AB，分别令DH，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，用坐标表示点
（Ⅰ）表示出，，（4分）
求出面EB1C的法向量，证明，即可证得结论；
（Ⅱ）设，则，设直线ED1与面EB1C所成角为α，则cosθ=cos（α+90°）=-sinα，从而可求直线ED1与面EB1C所成的角的大小．
解法一：（Ⅰ） 证明：连接BC1，B1C∩BC1=F，连接EF，
因为AE=EB，FB=FC1，所以EF∥AC1（2分
因为AC1⊄面EB1C，EF⊂面EB1C
所以AC1∥面EB1C（4分）
（Ⅱ）设AC1与ED1交于点G，连DE，
∵AC1∥面EB1C，∴G与C1到平面EB1C的距离相等，设为h，（6分）
则ED1=，． （7分）
∴，点E到平面B1CC1距离为．
又∵，
∴．∴．（10分）
设ED1与面EB1C所成角为α，则．
所以ED1与面EB1C所成角为arcsin． （12分）
解法二：
作DH⊥AB，分别令DH，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，如图建立坐标系┉（1分）
因为∠BAD=60°，AD=2，所以AH=1，，
所以D1（0，0，4），C（0，4，0），，C1（0，4，4）（3分）
（Ⅰ），，（4分）
设面EB1C的法向量为=（x，y，z），所以，
化简得令y=1，则．（6分）
∵，AC1⊄面EB1C，∴AC1∥面EB1C．（8分）
（Ⅱ）设，则．（10分）
设直线ED1与面EB1C所成角为α，则cosθ=cos（α+90°）=-sinα．
即．（11分）
∴直线ED1与面EB1C所成的角的大小为arcsin． （12分）