Question

在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer

（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1-=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；
（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．
【解析】
（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1-=，
∴P（A）=，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1-）（1-）2=，
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，
P（X=1）=（1-）2+（1-）（1-）+（1-）（1-）=，
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，
P（X=2）=•（1-）+（1-）•+（1-）=，
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，
P（X=3）=•（）2=，
X的分布列如下：

X 1 2 3
P

∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．