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满分5
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高中数学试题
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已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭...
已知椭圆C:
(a>b>0)的两个焦点分别为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),且椭圆C经过点P(
,
).
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)过点F
2
的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且
,求直线l的方程.
(Ⅰ)利用椭圆定义求出长轴长,则离心率可求; (Ⅱ)分类设出直线l的方程,斜率不存在时极易验证不合题意,斜率存在时,联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数关系得到两交点P,Q的横坐标的和与积,由得其数量积等于0,代入坐标后即可计算k的值,则直线l的方程可求. 【解析】 (Ⅰ)2a=|PF1|+|PF2|=. 所以a=.又由已知c=1,所以椭圆C的离心率. (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆C的方程为. 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1). 由,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 ,. 因为,所以, 即 = =. 解得,即k=. 故直线l的方程为或.
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考点分析:
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在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.
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如图,在直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD为平行四边形,且AD=2,AB=AA
1
=4,∠BAD=60°,E为AB的中点.
(Ⅰ)证明:AC
1
∥平面EB
1
C;
(Ⅱ)求直线ED
1
与平面EB
1
C所成角.
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已知数列{a
n
},{b
n
}分别为等差和等比数列,且a
1
=1,d>0,a
2
=b
2
,a
5
=b
3
,a
14
=b
4
(n∈N
*
).
(Ⅰ)求{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设c
n
=a
n
•b
n
,求数列{c
n
}的前n项和.
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设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=
.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
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如图,矩形ABCD中,DC=
,AD=1,在DC上截取DE=1,将△ADE沿AE翻折到D
1
点,点D
1
在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D
1
-AE-B的平面角的余弦值是
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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