Question

已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD．
（I）求证：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求EF与C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

Answer

（I）利用三垂线定理或线面垂直的性质证明EF⊥B1C；
（Ⅱ）根据异面直线所成角的定义，求EF与C1G所成角的余弦值；
（Ⅲ）利用二面角的定义先确定二面角的平面角，然后求二面角的大小．
【解析】
（I）连结D1B、BC1
因为E、F分别是D1D、BD的中点
所以EF∥D1B，且EF=D1B，
又D1C1中⊥面B1BCC1，
所以D1B在平面B1BCC1的射影为BC1
因为BC1⊥B1C，
所以由三垂线定理知BC1⊥D1C，
所以EF⊥B1C．
（II）延长CD到点P，使DP=CG，连结D1P、PB
所以D1C1∥PG且D1C1=PG，
所以四边形D1PGC1为平行四边形，
所以D1P∥C1G，且D1P=C1G，
又由（I）知EF∥D1B，
所以∠PD1B为EF与C1G所成角所成的角．
设正方体的棱长为4，则：，，PB2=42+52=41．
所以．
（III）取DC中点M，连FM，则FM⊥面C1EG
过M作MN⊥EG于N，连结FN
由三垂线定理，FN⊥EG
∴∠MNF的邻补角为二面角F-EG-C1的平面角
设正方体棱长为4，则FM=2
△EDG∽△MNG，
所以，
在直角三角形FMN中，．，
所以，
所以二面角F-EG-C1的大小为．