Question

已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0）经过定点A（0，-a）以+为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以+2为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若a=，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求•的取值范围．

Answer

（I）利用向量共线定理和坐标运算即可得出；
（II）对直线l的斜率分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1与双曲线的方程联立，即可得到根与系数的关系，再利用向量的数量积和对k分类讨论即可得出．
【解析】
（I）设P（x，y），∴，．
又=（0，a）+λ（1，0）=（λ，a），=（1，0）+2λ（0，a）=（1，2λa），
∵（+），（+2），
∴xa-λ（y+a）=0，2λax-（y-a）=0，
消去参数λ得y2-2a2x2=a2．
化为．
（II）当a=时，点P的轨迹方程为.=1．
∴E（0，1）为双曲线的一焦点．
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，l与双曲线分别相较于点M，N．此时==．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，代入双曲线得2（k2-1）x2+4kx+1=0，
∵l与双曲线交于两点，∴△=16k2-8（k2-1）＞0，且k2-1≠0．
设两交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．
则，．
∴=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）===．
当-1＜k＜1时，k2-1＜0，则，
当k＜-1或k＞1时，k2-1＞0，故．
综上所述：的取值范围是．