Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．

Answer

（1）根据抛物线方程求得焦点坐标，根据点斜式求得直线l的方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，进而根据两点间的距离公式求得|AB|的值；
（2）把直线方程与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，依题意可知α+β=45°，进而根据正切的两脚和公式可知其中，代入ky2-4y+4b=0求得b和k的关系式，此时使ky2-4y+4b=0有解的k，b有无数组把直线方程整理得k（x+4）=y-4推断出直线l过定点（-4，4）．
【解析】
（1）抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0）
由已知l：y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消y得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，x1x2=1
=

（2）联立，消x得ky2-4y+4b=0（*）（依题意k≠0）
，，
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，
则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，
其中，，
代入上式整理得y1y2-16=4（y1+y2）
所以，即b=4k+4，
此时，使（*）式有解的k，b有无数组
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去，即时k（x+4）=y-4恒成立，
所以直线l过定点（-4，4）