Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直线，交曲线C于另一点A₂（x₂，y₂），再过A₂（x₂，y₂）作斜率为k₂的直线，交曲线C于另一点A₃（x₃，y₃），…，过A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线，交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．

Answer

（1）过An（xn，yn）斜率为的直线为y-yn=（x-xn），An+1在直线上，化简即可求xn+1与xn的关系式；
（2）利用（1）的结论，分当n为奇数时，判断xn＜2；当n为偶数时，判断xn＞2，然后推理证明的结论；
（3）利用，再利用放缩法，推出|xn-2|≤，再证明|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
【解析】
（1）由已知过An（xn，yn）斜率为的直线为y-yn=（x-xn），
直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）
所以yn+1-yn=（xn+1-xn）（2分）
即=（xn+1-xn），xn+1-xn≠0，
所以（4分）
（2）【解析】
当n为奇数时，xn＜2；当n为偶数时，xn＞2（5分）
因为，（6分）
注意到xn＞0，所以xn-2与xn-1-2异号
由于x1=1＜2，所以x2＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N*）时，xn＜2；
当n=2k（k∈N*）时，xn＞2（8分）
（3）由于xn＞0，，
所以xn≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以≤（10分）
所以|xn-2|≤≤≤…≤（12分）
所以|x1-2|+|x2+2|+…+|xn-2|≤=（14分）