Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer

（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解
（2）由题意设直线l的方程为y=k（x-4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围
（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，-y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求
（1）【解析】
由题意知，，即b=
又a2=b2+c2
∴a=2，b=
故椭圆的方程为（2分）
（2）【解析】
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4）
由可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0（4分）
设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4-4（3+4k2）（64k2-12）＞0
∴（6分）
∴x1+x2=，x1x2=①
∴=x1x2+y1y2=
=
=
=
∵
∴
∴
∴）
（3）证明：∵B，E关于x轴对称
∴可设E（x2，-y2）
∴直线AE的方程为
令y=0可得x=
∵y1=k（x1-4），y2=k（x2-4）
∴==1
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）