Question

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当n＞m＞0时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）证明：当n＞2012，且x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R₊，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1时，
（1）…
（2）…．

Answer

（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0或小于0，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=，求导数g'（x）=，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，从而可得＜，由此可得结论；
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可得…；（2）由（1）得：…≥．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，从而有（）＞（），结合放缩法即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）设g（x）=，
则g'（x）=．…（6分）
由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，
而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得＜，
得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可知，…=…[（1+x1）+…+（1+xn）]×
≥++…+×=（x1+x2+x3+…+xn）2=，
所以…，…（11分）
（2）由（1）得：…≥．
又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，
即（1+n）＜（1+2012），即（）＞（）．
则…≥（）＞（）．
故…＞（）．…（14分）