Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知cos2A+3cosA-2=0．
（Ⅰ）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（Ⅱ）若a=，求△ABC面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式，求出cosA的值，由已知等式变形表示出cosA，即可求出实数m的值；
（Ⅱ）由第一问得出cosA的值，确定出sinA的值，利用余弦定理列出关系式，根据基本不等式变形求出bc的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值即可．
【解析】
（Ⅰ） 由cos2A+3cosA-2=0得：2cos2A+3cosA-2=0，
解得：cosA=，
而a2-c2=b2-mbc，可以变形为=，
即cosA==，
则m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，则sinA=，
又=，
∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，即bc≤a2，
则S△ABC=bcsinA≤=．