Question

已知抛物线C：y²=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），求证：a²=．

Answer

（Ⅰ）由抛物线的定义直接列式求出p，则抛物线C的方程可求；
（Ⅱ）联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数关系写出两交点纵坐标的和与积，代入|y1-y2|=a化简即可证明等式．
（Ⅰ）【解析】
由抛物线定义，抛物线C：y2=2Px（p＞0）上点P（4，y）到焦点的距离等于它到准线的距离，得，
∴p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）证明：由，得ky2-4y+4b=0，
当△=16-16kb＞0，即kb＜1且k≠0 时，
，
由|y1-y2|=a，即，
所以．