Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB的中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

Answer

（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
证明：（1）在，∴A1C=1，
在△A1BC中，BC=1，A1C=1，，∴，∴，∴BC⊥A1C，
又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵BC⊂平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ACC1A1．
（2）连接A1C交AC1于O，连接DO，
则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，
∵OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC．