Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有成立．
（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m²-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数，利用函数的单调性定义，结合a+b≠0时，有成立，可证；
（Ⅱ） 根据f（x）在[-1，1]上为增函数，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m2-2bm+1恒成立，应有m2-2bm+1≥f（1）=1⇒m2-2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m2，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立，从而只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零，故可解．
【解析】
（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数
证明：设x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，在中，令a=x1，b=-x2，有＞0，
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x2）=-f（x2），∴＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）=1  且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．
由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m2-2bm+1恒成立，
应有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m2，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）=-2mb+m2是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值，
且[g（b）]最小值=g（1）=-2m+m2≥0⇒m≥2；
若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）]最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m＜0时，g（b）=-2mb+m2是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值，
且[g（b）]最小值=g（-1）=2m+m2≥0⇒m≤-2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．