Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使+…+成立的最小正整数n的值．

Answer

（1）利用等差数列的性质可知，=（an-1-1）•（an+1-1）（n≥2），再由a1=3，a3=9即可求得a2，a4归纳可得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知，an=2n+1，从而知数列{}为首项与公比均为的等比数列，从而可求其前n项和，依题意，解不等式即可．
【解析】
（1）∵数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3=21，a3=9=23+1，
∴an＞1，=（a1-1）•（a3-1）=2×8=16，
∴a2=5=22+1；
同理可求a4=17=24+1，
a5=33=25+1，
…
∴an=2n+1；
（2）∵an=2n+1，
∴an+1-an=2n，故=，
∴=，又=，
∴数列{}为首项与公比均为的等比数列，
∴++…+=++…+==1-＞，
∴n≥11（n∈N*）．
∴正整数nmin=11．