Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求的值； 
（2）若，△ABC的周长为5，求b的长．

Answer

（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简得到sinC=2sinA，即可求出所求式子的值；
（2）第一问得出的结论利用正弦定理化简得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，将c=2a及cosA的值代入得到b=2a，根据已知周长求出a的值，即可确定出b的值．
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知等式得：=，
整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则=；
（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得：c=2a，
利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-a2=4a2，即b=2a，
∵△ABC周长a+b+c=5，即a+2a+2a=5，
解得：a=1，
则b=2a=2．