Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG．且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求证：BF∥平面ACGD；
（2）求二面角D-CG-F的余弦值．

Answer

（1）设DG的中点为M，连接AM、FM，证明BF平行平面ACGD内的直线AM，即可证明BF∥平面ACGD．
（2）过点M作MN⊥CG，N为垂足，则∠MNF为二面角D-CG-F的平面角．由题意求得 MN==，FN==，再由cos∠MNF=，
运算求得结果．
【解析】
（1）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
所以MF∥DE，且MF=DE．
又∵AB∥DE，且AB=DE，∴MF∥AB，且MF=AB．
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF∥AM，
又BF⊄平面ACGD 故BF∥平面ACGD．
 （2）由AD⊥平面DEFG，可得AD⊥ED，再由ED⊥DG，可得ED⊥平面ACGD．由（1）四边形DEFM是平行四边形，
可得FM⊥平面ACGD，故有 FM⊥CG．
过点M作MN⊥CG，N为垂足，则∠MNF为二面角D-CG-F的平面角．
由题意可得，AD=CM=2，MG=1，CG==，∴MN==．
直角三角形FMN中，由勾股定理求得FN==，∴cos∠MNF===．