Question

如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
（Ⅱ）试证明：k₁+k₂为定值．

Answer

（I）由直线方程算出P（4，0），从而得出a=8．设A（x1，y1）、B（x2，y2），根据抛物线的定义列式，化简可得M到准线的距离d恰好等于圆的半径，从而得到直线与圆相切．
（II）直线l与抛物线消去x，得y2-2amy-8a=0，利用根与系数的关系将k1+k2化成关于A、B坐标的式子，化简整理可得k1+k2=0，即k1+k2为定值．
【解析】
（Ⅰ）由直线l：x=my+4得点P（4，0），故…（2分）
设交点A（x1，y1），B（x2，y2），它们的中点，
设点M到抛物线的准线的距离为d，则，…（4分）
∵=d，
∴抛物线的准线与以AB为直径的圆相切．…（6分）
（Ⅱ）由直线l：x=my+4得点P（4，0），∴Q（-4，0），
将直线l：x=my+4与抛物线的方程y2=2ax联立得y2-2amy-8a=0，
∵△＞0恒成立，…（9分）
∴
==…（11分）
即，代入（*）得k1+k2=0，故k1+k2为定值得征．…（13分）