Question

已知函数f（x）=sin（x-）+cos（x-）．
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer

（1）由两角和的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的单调性求出f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）由（1）求出的f（x）代入g（x）化简后，设t=sinx并求出t的范围，代入解析式进行配方，再由二次函数的性质求出函数的最值，再用区间表示出g（x）的值域．
【解析】
（1）由题意得，f（x）=2[sin（x-）+cos（x-）]
=2sin（x-+）=2sinx，
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是：，；
（2）由（1）得，g（x）=2sinx（1+sinx）=2sinx+2sin2x
设t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t2+2t=，
当t=时，函数取到最小值是：，
当t=1时，函数取到最大值是：4，
则g（x）的值域是[，4]．