Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0．且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₁，b₂，b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{C_n}对任意自然数n均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer

（1）由a2，a5，a14成等比数列可得关于公差d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an，由b1=a2=3，b2=a5=9得公比q，利用等比数列通项公式可得bn；
（2），得n≥2时，，两式作差可得，从而求得（n≥2），易求C1=9，由{Cn}的通项公式及等比数列求和公式可得答案；
【解析】
（1）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，且a2，a5，a14成等比数列，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴an=1+（n-1）•2=2n-1，
又b1=a2=3，b2=a5=9，
∴q=3，；
（2）++…+=an+1，即①，
则n≥2时，②，
①-②得，，所以（n≥2），
n=1时，C1=9，
所以，
所以c1+c2+…+c2013=9+2•32+2•33+…+2•32013
=9+2•=32014；