Question

已知圆C：x²+y²-6x-4y+4=0，直线l₁被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．
①求直线l₁的方程．
②若直线l₂：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．
③是否存在常数b，使得直线l₂被圆C所截得的弦的中点落在直线l₁上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设直线l1的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得kPC=，由k•kPC=-1可求k，从而可求直线l1的方程；
（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l2的距离小于半径，从而可求得b的取值范围；
（3）设直线l2被圆C解得的弦的中点为M（x°，y°），由直线l2与CM垂直，可得x°-y°-1=0，与x°+y°+b=0联立可求得x，y，代入直线l1的方程，求得b，验证即可．
【解析】
①∵圆C的方程化标准方程为：（x-3）2+（y-2）2=9，
∴圆心C（3，2），半径r=3．设直线l1的斜率为则k，则
k=-=-=-2．
∴直线l1的方程为：y-3=-2（x-5）即2x+y-13=0．
②∵圆的半径r=3，
∴要使直线l2与圆C相交则须有：＜3，
∴|5|＜3于是b的取值范围是：-3-5＜b＜3-5．
③设直线l2被圆C解得的弦的中点为M（x°，y°），则直线l2与CM垂直，于是有：=1，
整理可得：x°-y°-1=0．
又∵点M（x°，y°）在直线l2上，
∴x°+y°+b=0
∴由解得：代入直线l1的方程得：1-b--13=0，
∴b=-∈（-3-5，3-5），
故存在满足条件的常数b．