Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）设．证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）整理an+1=3an+3n，得，进而可知bn+1=bn+1根据等差数列的定义推断出数列{bn}是等差数列；
（2）根据（1）中的{bn}的首项和公差求得bn，进而根据求得an，利用错位相减法求得数列的前n项的和．
【解析】
（1）an+1=3an+3n，
∴，于是bn+1=bn+1，
∴{bn}为首项与公差均为1的等差数列．
又由题设条件求得b1=1，故bn=n，
由此得
∴an=n×3n．
（2）Sn=1×31+2×32+…+（n-1）×3n-1+n×3n，
3Sn=1×32+2×33+…+（n-1）×3n+n×3n+1，
两式相减，得2Sn=n×3n+1-（31+32+…+3n），
解出．