Question

设F₁、F₂分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是C上的一个动点，且|PF₁|+|PF₂|=4，C的离心率为．
（Ⅰ）求C方程；
（Ⅱ）是否存在过点F₂且斜率存在的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₁C|=|F₁D|．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知可得椭圆的长轴长，结合离心率求出c，则b可求，椭圆的方程可求；
（Ⅱ）假设存在，设出直线方程，和椭圆方程联立利用跟与系数求出两个交点CD的中点，再由|F1C|=|F1D|可知椭圆左焦点在CD的中垂线上，代入坐标后得到矛盾式子，所以假设不成立．
【解析】
（Ⅰ）因为|PF1|+|PF2|=4，所以a=2，
因为离心率为，所以c=1，所以，
所以椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，易知点F2在椭圆的内部，
直线l与椭圆一定有两个交点，设直线l斜率为k，点C（x1，y1），点D（x2，y2）
直线l的方程为y=k（x-1），由方程组．
得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．
则，
∴．
又|F1D|=|F1C|，所以F1在CD的垂直平分线上，又CD的垂直平分线上方程为，
所以．
所以5k2+3=0，不成立，所以不存在直线l，使得|F1D|=|F1C|．
综上所述，不存在直线l，使得|F1D|=|F1C|．