Question

已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x²+y²=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由垂径定理，结合算出直线l到圆x2+y2=4的圆心的距离d满足d2≤，结合点到直线的距离公式建立关于k的不等式，算出k2．由直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，可得c=-，从而得到a2=4+，利用离心率的公式建立e关于k的关系式，即可求出椭圆离心率e的取值范围．
【解析】
圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=
∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，
∴由垂径定理，得2，
即，解之得d2≤
∴≤，解之得k2
∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，
∴b=2且c==-，即a2=4+
因此，椭圆的离心率e满足e2===
∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]
故选：B