Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C为+y²=1
（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，）为中点，求直线MN的方程；
（2）若过点A（1，0）的直线l（非x轴）与椭圆C相交于两个不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先判断直线MN与椭圆必有公共点，再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式，即可求直线MN的方程；
（2）假定存在定点E（m，0），使恒为定值λ，可设直线l的方程代入椭圆方程，得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到参数的值．
【解析】
（1）∵点（-1，）在椭圆内部，∴直线MN与椭圆必有公共点
设点M（x1，y1），N（x2，y2），由已知x1≠x2，则有，
两式相减，得=-（y1-y2）（y1+y2）
而，∴直线MN的斜率为1
∴直线MN的方程为4x-4y+5=0；
（2）假定存在定点E（m，0），恒为定值λ
由于直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x3，y3），Q（x4，y4），
将x=ky+1代入+y2=1得（k2+4）y2+2ky-3=0．
显然△＞0，∴y3+y4=-，y3y4=-
∵=（x3-m，y3），=（x4-m，y4），，
∴=x3x4-m（x3+x4）+m2+y3y4=
若存在定点E（m，0），使=λ为定值（λ与k值无关），则必有
∴m=，λ=
∴在x轴上存在定点E（，0），使恒为定值．