Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA₁=4．
（1）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）要证CF∥平面AEB1，只要证CF垂直于平面AEB1内的一条直线即可，由E是棱CC1的中点，F是AB中点，可想取AB1中点，连结后利用三角形中位线知识结合三棱柱为直三棱柱证明四边形FGEC是平行四边形，从而得到线线平行，得到线面平行；
（2）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设出E点的坐标，进一步求出二面角A-EB1-B的两个面的法向量的坐标，然后把二面角的余弦值转化为法向量所成角的余弦值求解E，则结论得到证明．
（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG
∵F、G分别是棱AB、AB1中点，∴FG∥BB1，
又∵FG∥EC，，FG=EC，∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，
∴CF∥平面AEB；
（2）【解析】
以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）
设E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB1的法向量
．
由，得，取z=2，得
∵CA⊥平面C1CBB1，
∴是平面EBB1的法向量，则平面EBB1的法向量
∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值为，
则，解得m=1（0≤m≤4）．
∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE=1．