Question

已知函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数
（1）求实数m的取值集合A
（2）当m取值集合A中的最小值时，定义数列{a_n}；满足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=-2，设
b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（3）若c_n=na_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（1）由函数f（x）在（0，1）上是增函数，得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，转化为函数最值解决即可；
（2）由-2，得an+1=3an-2，即an+1-1=3（an-1），由a1-1=2及等比数列的定义可作出证明，利用等比数列的通项公式可求得an-1，进而可得an；
（3）由（2）可求，先利用错位相减法求得…+n×3n-1，然后再求Sn．
（1）【解析】
因为函数f（x）在（0，1）上是增函数，
只需f′（x）=-3x2+m在（0，1）满足f′（x）≥0恒成立，即-3x2+m≥0，
∴m≥3，即A={m|m≥3}；
（2）证明：∵-2，∴an+1=，
∴an+1=3an-2，∴an+1-1=3（an-1），即=3，又a1-1=2，
∴数列{bn}是等比数列，首项为a1-1=2，公比为3，
则，∴+1；
（3）由（2）可知，
令…+n×3n-1，
，
两式相减求得，
∴．