Question

设函数y=f（x），x∈R的导函数f'（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是（ ）
A．f（0）＜e^-1f（1）＜e²f（2）
B．e²f（2）＜f（0）＜e^-1f（1）
C．e²f（2）＜e^-1f（1）＜f（0）
D．e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）

Answer

通过分析给出的选项的特点，每一个选项中要比较的三个式子都涉及含有e的负指数幂及f（x），所以设想构造函数
g（x）=e-x•f（x），通过求其导函数，结合题目给出的f′（x）＜f（x），得到函数g（x）的单调性，然后在函数g（x）的解析式中分别取x=0，1，-2，利用函数单调性即可得到结论．
【解析】
构造辅助函数，令g（x）=e-x•f（x），
则g′（x）=（e-x）′•f（x）+e-x•f′（x）
=-e-x•f（x）+e-x•f′（x）
=e-x（f′（x）-f（x））．
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）=e-x（f′（x）-f（x））＜0，
∴函数令g（x）=e-x•f（x）为实数集上的减函数．
则g（-2）＞g（0）＞g（1）．
∵g（0）=ef（0）=f（0），
g（1）=e-1f（1），
g（-2）=e2f（-2），
又f（-x）=f（x），
∴g（-2）=e2f（2）
∴e-1f（1）＜f（0）＜e2f（2）．
故选D．