Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=sin（）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．

Answer

（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线C的极坐标方程：ρ=2 sin（θ+）化成直角坐标方程：x2+y2-x-y=0，问题得以解决；
（2）先将直线l的参数方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲线C是以（）为圆心，半径等于的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得M、N两点间的距离．
【解析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为ρ=sin（）=cosθ+sinθ
两边都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ
因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y 2
代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-x-y=0
（2）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得普通方程：4x-3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x2+y2-x-y=0，
所以（）为圆心，半径等于
所以，圆心C到直线l的距离d=
所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2 =．
即M、N两点间的距离为．