Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小；
（2）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（3）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer

（1）异面直线BC1与AA1所成的角的大小即∠B1BC1（或其补角），再由正方体的性质可得△B1BC1为等腰直角三角形，可得∠B1BC1 的大小．
（2）三棱锥B1-A1C1B的体积 即=••BB1，运算求得结果．
（3）由正方体的性质可得，由三垂线定理可得B1D⊥A1C1，同理可证，B1D⊥A1B，再根据直线和平面垂直的判定定理可得B1D⊥平面A1C1B．
【解析】
（1）由于A1A和B1B平行且相等，故异面直线BC1与AA1所成的角的大小即为BB1与BC1城的角，
故∠B1BC1（或其补角）为所求．
再由正方体的性质可得△B1BC1为等腰直角三角形，故∠B1BC1=45°，
即异面直线BC1与AA1所成的角的大小为45°．
（2）三棱锥B1-A1C1B的体积即 =••BB1=×（）×1=．
（3）证明：由正方体的性质可得，B1D在上底面A1B1C1D1内的射影为B1D1，且A1C1⊥B1D1．
由三垂线定理可得B1D⊥A1C1．
同理可证，B1D⊥A1B．
而A1C1和 A1B是平面A1C1B内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得B1D⊥平面A1C1B．